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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}}}\) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!- \!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{ span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{rango}\,}\) \( \newcommand{\RealPart }{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\ norma}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm {span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\ mathrm{nulo}\,}\) \( \newcommand{\rango}{\mathrm{rango}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{ \ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{ \unicode[.8,0]{x212B}}\)
Definición \(\PageIndex{1}\)
Dejar\(m>0\)ser dado. Por cada entero\(a\)definimos \[\label{eq: [a] defn 1} [a]=\{x:x\equiv a\pmod m\}.\]
En otras palabras,\([a]\)es el conjunto de todos los enteros que son congruentes con\(a\)módulo\(metro\). Llamamos\([a]\)elclase de residuo de \(a\) módulo \(metro\). Algunas personas llaman\([a]\)elclase de congruenciaoclase de equivalencia de\(a\)módulo\(metro\).
Ejemplo \(\PageIndex{1}\)
Si\(m=3\)y\(a=7\), vemos \[\begin{aligned} \left[7\right] &= \{x:x \equiv 7 \pmod 3\}\\ &= \{\dots, -5, -2, 1, 4 , 7, 10, 13, 16, 19, \puntos\}. \end{alineado}\] Mantener\(m=3\), también vemos que \[\begin{aligned} \left[0\right] &= \{x:x \equiv 0 \pmod 3\}\\ &= \{\dots, -9, -6, - 3, 0, 3, 6, 9, \puntos\};\\[6 puntos] [1] &= \{x:x \equiv 1 \pmod 3\}\\ &= \{\puntos, -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, \puntos\};\\[6pt] [2] &= \{x:x \equiv 2 \pmod 3\}\\ &= \{\puntos , -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11, \puntos\}. \end{aligned}\] Por lo tanto, cada número entero pertenece a una de las clases de residuos módulo 3. Tenga en cuenta también que\([7]=[1]\), desde\([7]\)y\([1]\)ambos conjuntos contienen exactamente los mismos elementos; pensar en\([7]\)y\([1]\)tan diferentenombrespara el mismo conjunto. (Con esta perspectiva, cada clase de residuo tiene infinitos nombres).
Teorema \(\PageIndex{1}\)
Para\(m>0\)y cualquier entero\(a\)tenemos \[\label{eq: [a] defn 2} [a]=\{mq+a\mid q\in\mathbb{Z}\}.\]
Prueba
\(x\in[a]\Leftrightarrow x\equiv a\pmod m\Leftrightarrow m\mid (x-a)\Leftrightarrow x-a=mq\)para algunos\(q\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow x=mq+a\)para algunos\(q\in\mathbb{Z}\). Entonces, la ecuación \(\eqref{eq: [a] defn 2}\) se sigue de la definición en la ecuación \(\eqref{eq: [a] defn 1}\).
Tenga en cuenta que\([a]\)realmente depende de\(metro\)y sería más exacto escribir\([soy\)en lugar de\([a]\), pero esto sería demasiado engorroso. No obstante, debe tenerse muy en cuenta que\([a]\)depende de algún valor entendido de\(metro\).
Comentario \(\PageIndex{1}\)
Dos formas alternativas de escribir la ecuación \(\eqref{eq: [a] defn 2}\) son \[[a]=\{mq+a\mid q=0,\pm 1,\pm 2,\dotsc\ }\sinnúmero\] y \[[a]=\{\dotsc,-2m+a,-m+a,a,m+a,2m+a,\dotsc\}.\sinnúmero\]
Teorema \(\Índice de página{2}\)
Para un módulo dado\(m>0\)tenemos: \[[a]=[b]\Leftrightarrow a\equiv b\pmod m.\nonumber \]
Prueba
“\(\Flecha correcta\)" Asumir\([a]=[b]\). Tenga en cuenta que desde\(a\equiv a\pmod m\)tenemos\(a\en[a]\). Desde\([a]=[b]\)tenemos\(a\en[b]\). Por definición de\([b]\)esto da\(a\equiv b\pmod m\), como se desee.
“\(\Flecha izquierda\)" Asumir\(a\equiv b\pmod m\). Debemos demostrar que los conjuntos\([a]\)y\([b]\)son iguales. Para ello demostramos que todo elemento de\([a]\)es en\([b]\)y viceversa. Dejar\(x\en[a]\). Entonces\(x\equiv a\pmod m\). Desde\(a\equiv b\pmod m\), por transitividad\(x\equiv b\pmod m\)entonces\(x\en[b]\). Por el contrario, si\(x\en[b]\), entonces\(x\equiv b\pmod m\). Por simetría desde\(a\equiv b\pmod m\),\(b\equiv a\pmod m\), entonces de nuevo por transitividad\(x\equiv a\pmod m\)y\(x\en[a]\). Esto prueba que\([a]=[b]\).
Teorema \(\Índice de página{3}\)
Para cada\(a\)hay un unico\(r\)tal que \[[a]=[r]\quad \mbox{and $0\le r Prueba Dejar\(r=a\bmod m\). Entonces porTeorema 1.17.2(1) tenemos\(a\equiv r\pmod m\). Por definición de\(a\bmod m\)tenemos\(0\le r
Teorema \(\Índice de página{4}\)
Dado\(m>0\), hay exactamente\(metro\)módulo de clases de residuos distintas\(metro\), a saber, \[[0],[1],[2],\dotsc,[m-1].\nonumber \]
Prueba
PorTeorema \(\PageIndex{3}\)sabemos que cada clase de residuo\([a]\)es igual a una de las clases de residuos:\([0],[1],\puntosc,[m-1]\). Por lo tanto, no hay clases de residuos que no estén en esta lista. Estas clases de residuos se distinguen por la parte de unicidad deTeorema \(\PageIndex{3}\), es decir, si\(0\le r_1
Definición \(\PageIndex{2}\): Representante
Cualquier elemento\(x\en[a]\)se dice que es unrepresentantede la clase de residuos\([a]\).
Como se le pide que muestre enEjercicio \(\PageIndex{4}\)abajo, si\(X\)es un representante de\([a]\)entonces\([x]=[a]\), eso es,cualquier elemento de una clase de residuo puede usarse para representarlo.
El módulo de los números enteros\(metro\)
De ahora en adelante en este capítulo\(metro\)ser un entero fijo mayor que 1.
Definición \(\PageIndex{3}\): Anillo de enteros Módulo m
Definimos \[\mathbb{Z}_m=\{[a]\mid a\in\mathbb{Z}\},\nonumber \] es decir,\(\mathbb{Z}_m\)es el conjunto de todas las clases de residuos módulo\(metro\). Llamamos\(\mathbb{Z}_m\) el anillo de enteros modulo \(metro\). En el próximo capítulo mostraremos cómo sumar y multiplicar clases de residuos. Esto hace\(\mathbb{Z}_m\)en un anillo. (VerApéndice Cpara la definición deanillo.) A menudo soltamos "el anillo de" y simplemente llamamos\(\mathbb{Z}_m\) el módulo entero \(metro\). DeTeorema \(\PageIndex{4}\)\[\mathbb{Z}_m=\{[0],[1],\dotsc,[m-1]\},\nonumber \] y dado que no hay dos de las clases de residuos\([0],[1],\puntosc,[m-1]\)son iguales, vemos que\(\mathbb{Z}_m\)tiene exactamente\(metro\)elementos.\(^{1}\)PorEjercicio \(\PageIndex{4}\)si elegimos \[a_0\in[0],a_1\in[1],\dotsc,a_{m-1}\in[m-1]\nonumber \] entonces \[[a_0]=[0], [a_1]=[1],\dotsc,[a_{m-1}]=[m-1].\nonumber \] Entonces también tenemos \[\mathbb{Z}_m=\{[a_0],[ a_1],\dotsc,[a_{m-1}]\}.\sinnúmero\]
Ejemplo \(\PageIndex{2}\)
Si\(m=4\)tenemos, por ejemplo, \[8\in [0], 5 \in [1], -6 \in [2], 11\in [3].\nonumber \] Y por lo tanto: \[\mathbb{Z }_4 = \{[8],[5],[-6],[11] \}.\ningún número \]
Ahora mostramos cómo definir la suma y la multiplicación de clases de residuos módulo\(metro\). Es con respecto a estas operaciones binarias que\(\mathbb{Z}_m\)es un anillo (de nuevo, verApéndice C).
Ejemplo \(\PageIndex{3}\)
Para\(m=5\)tenemos \[[2]+[3]=[5],\nonumber \] y \[[2][3]=[6].\nonumber \] Tenga en cuenta que desde\(5\equiv 0\pmod 5\)y\(6\equiv 1\pmod 5\)tenemos\([5]=[0]\)y\([6]=[1]\)por lo que también podemos escribir \[\begin{reunidos} \left[2\right]+[3]=[0] \\ [2][3]=[1].\end{reunidos}\]
Dado que una clase de residuo puede tener muchos representantes, es importante verificar que las reglas dadas enDefinición \(\PageIndex{4}\)no dependen de los representantes elegidos. por ejemplo, cuando\(m=5\)sabemos que \[[7]=[2]\text{ y }[11]=[21]\nonumber \] entoncesdeberíatener \[[7]+[11]=[2]+[21]\nonumber \] y \[[7][11]=[2][21].\nonumber \] En este caso podemos comprobar que \[[7]+[11]=[18]\text{ y }[2]+[21]=[23].\nonumber \] Ahora\(23\equiv 18\pmod 5\)desde\(5\mediados (23-18)\). Por eso\([18]=[23]\), como se desee. También\([7][11]=[77]\)y\([2][21]=[42]\). Entonces\(77-42=35\)y\(5\mediados de 35\)entonces\(77\equiv 42\pmod 5\)y por lo tanto\([77]=[42]\), como se desee.
Al realizar sumas y multiplicaciones en\(\mathbb{Z}_m\)usando las reglas enDefinición \(\PageIndex{4}\), debido aTeorema \(\PageIndex{5}\), podemos en cualquier momento reemplazar\([a]\)por\([a']\)si\(a\equiv a'\pmod m\). Esto a veces facilitará los cálculos.
Ejemplo \(\PageIndex{4}\)
Llevar\(m=151\). Entonces\(150\equiv-1\pmod{151}\)y\(149\equiv-2\pmod{151}\), entonces \[[150][149]=[-1][-2]=[2]\nonumber \] y \[[150]+[149]=[-1]+[-2]=[- 3]=[148]\ningúnnúmero\] desde\(148\equiv-3\pmod{151}\).
al trabajar con\(\mathbb{Z}_m\)a menudo es útil escribir cada clase de residuo usando su nombre\([a]\), dónde\(a\)es el menor número no negativo del conjunto. Hacemos esto al construir las siguientes tablas de suma y multiplicación para\(\mathbb{Z}_4\). Por ejemplo,\([2]\cdot[3] = [6]\), pero desde\([6] = [2]\)y\(2\)es el miembro no negativo más pequeño de este conjunto, la tabla registra\([2]\cdot [3] = [2]\).
| \(+\) | \([0]\) | \([1]\) | \([2]\) | \([3]\) |
|---|---|---|---|---|
| \([0]\) | \([0]\) | \([1]\) | \([2]\) | \([3]\) |
| \([1]\) | \([1]\) | \([2]\) | \([3]\) | \([0]\) |
| \([2]\) | \([2]\) | \([3]\) | \([0]\) | \([1]\) |
| \([3]\) | \([3]\) | \([0]\) | \([1]\) | \([2]\) |
| \(\cdot\) | \([0]\) | \([1]\) | \([2]\) | \([3]\) |
|---|---|---|---|---|
| \([0]\) | \([0]\) | \([0]\) | \([0]\) | \([0]\) |
| \([1]\) | \([0]\) | \([1]\) | \([2]\) | \([3]\) |
| \([2]\) | \([0]\) | \([2]\) | \([0]\) | \([2]\) |
| \([3]\) | \([0]\) | \([3]\) | \([2]\) | \([1]\) |
Recuerda que porTeorema 1.17.2(1) tenemos para todos\(a\)y\(m>0\)\[a\equiv a\bmod m\pmod m.\nonumber \] Entonces, usando el módulo de clases de residuos\(metro\)esto da \[[a]=[a\bmod m].\nonumber \]
Por lo tanto, \[\boxed{\begin{array}{c}[a]+[b]=[(a+b)\bmod m] \\ [a][b]=[(ab)\bmod m] \end{matriz}}\sinnúmero\]
Así que si\(a\)y\(b\)están en el conjunto\(\{0,1,\dotsc,m-1\}\), estas ecuaciones nos dan una forma de obtener representaciones de la suma y el producto de\([a]\)y\([b]\)usando “nombres” (representantes) también en\(\{0,1,\dotsc,m-1\}\). Esto conduce a una forma alternativa de definir\(\mathbb{Z}_m\)y la suma y la multiplicación en\(\mathbb{Z}_m\). Usaremos una notación ligeramente diferente.
Definición \(\PageIndex{5}\)
Para\(m>0\)define \[Z_m=\{0,1,2,\dotsc,m-1\}\nonumber \] y para\(a,b\en Z_m\)\[\begin{aligned} a+b &=(a+b)\bmod m \\ ab &=(ab)\bmod m.\end{aligned}\] donde la suma y la multiplicacióndentro de los paréntesisson la suma y multiplicación habitual de números enteros; lo que es nuevo en nuestra redefinición es la práctica de siempre reducir el resultado módulo\(metro\).
Comentario \(\PageIndex{2}\)
El conjunto\(Z_m\)con la suma y la multiplicación como se define esisomorfoa\(\mathbb{Z}_m\)con suma y multiplicación dada porDefinición \(\PageIndex{4}\). (Los estudiantes que toman un curso de álgebra abstracta elemental aprenderán una definición rigurosa del término isomorfo. Por ahora, tomamos "isomorfo" para significar "tiene la misma forma".) Las tablas de suma y multiplicación para\(Z_4\)están aquí:
| \(+\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|
| \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
| \(1\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(0\) |
| \(2\) | \(2\) | \(3\) | \(0\) | \(1\) |
| \(3\) | \(3\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
| \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | |
|---|---|---|---|---|
| \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
| \(2\) | \(0\) | \(2\) | \(0\) | \(2\) |
| \(3\) | \(0\) | \(3\) | \(2\) | \(1\) |
Ejemplo \(\PageIndex{5}\)
Resolvamos la congruencia \[272x\equiv 901\pmod 9.\nonumber \] Usando clases de residuos módulo\(9\), esta congruencia es equivalente a \[[272x]=[901],\nonumber\] que es equivalente a \[[272][x]=[901],\nonumber \] que es equivalente a \[[2] [x]=[1].\nonumber \] Ahora sabemos\([x]\in\{[0],[1],\dotsc,[8]\}\)entonces por prueba y error vemos que\(x=5\)es una solución; en realidad, cada número entero en la clase de residuos\([5]\)es una solución
Ejercicios
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
Demuestra que si\(m=2\)entonces\([1]\)es el conjunto de todos los enteros impares y\([0]\)es el conjunto de todos los enteros pares. Muestre también que\(\mathbb{Z} = [0] \taza [1]\)y\([0] \cap [1] = \conjunto vacío\).
Ejercicio \(\PageIndex{2}\)
Demuestra que si\(m=3\), entonces\([0]\)es el conjunto de los enteros divisible por\(3\),\([1]\)es el conjunto de números enteros cuyo resto cuando se divide por\(3\)es\(1\), y\([2]\)es el conjunto de números enteros cuyo resto cuando se divide por\(3\)es\(2\). Muestre también que\(\mathbb{Z} = [0] \taza [1] \taza [2]\)y\([0] \cap [1] = [0] \cap [2] = [1] \cap [2] =\emptyset\).
Ejercicio \(\PageIndex{5}\)
Para cualquier\(m>0\), demuestra que si\([a]\cap[b]\ne\emptyset\)entonces\([a]=[b]\).
Ejercicio \(\PageIndex{6}\)
Para cualquier\(m>0\), demuestra que si\([a]\n[b]\)entonces\([a]\cap[b]=\emptyset\).
Ejercicio \(\PageIndex{7}\)
Dejar\(m=2\). Demuestra que \[[0]=[2]=[4]=[32]=[-2]=[-32]\nonumber \] y \[[1]=[3]=[-3]=[ 31]=[-31].\sinnúmero\]
Ejercicio \(\Índice de página{11}\)
- Si\(pag\)es primo, demuestre que\(x^2 \equiv 1 \pmod p\)si y solo si\(x \equiv -1 \pmod p\)o\(x \equiv 1 \pmod p\). (Pista: como parte de tu respuesta, explica por qué\(x^2 \equiv 1 \pmod p\)implica que\(p | (x+1)(x-1)\)y aplicar el Lema de Euclides (Lema 1.11.2).
- Concluya que, módulo a primo\(pag\), la congruencia\([x]^2 = [1]\)tiene soluciones\([x]=[1]\)y\([x] = [-1]\).
- Encuentre un ejemplo de un módulo\(metro\)y una clase de residuo\([a]\)tal que\([a]^2 = [1]\)pero\([a]\neq [1]\)y\([a]\neq [-1]\)en\(\mathbb{Z}_m\).
Ejercicio \(\PageIndex{12}\)
Resuelve la congruencia\(544x \equiv 863 \pmod 7\).
notas al pie
[1]Cada uno de esos elementos, como \([0]\) o \([1]\), es en sí mismo un conjunto con infinitos elementos, pero a menudo lo ignoraremos. Los \(m\) conjuntos \([0],\: [1],\cdots , [m- 1]\) en \(\mathbb{Z}_m\) son sus \(m\) elementos.
